Karistusfunktsioonide

Karistusfunktsioonid on optimeerimisprobleemide lahendamisel kasutatavad lisafunktsioonid, mis penaliseerivad piirangute rikkumist. Eesmärk on muundada piiratud optimeerimisprobleem unconstrained probleemiks, et lahendust oleks lihtsam leida ning samal ajal arvestada piiranguid. Tavaliselt algne probleem on minimize f(x) such that h_i(x) ≤ 0 ja g_j(x) = 0.

Väline karistus (välise karistusfunktsiooni) lisatakse sihitud funktsiooni ette. Üldine vorm on Φ_r(x) = f(x) + P_r(x), kus P_r(x) karistab piirangute rikkumist. Kõige levinum vorm for inequality piirangud h_i(x) ≤ 0 ja equality piirangud g_j(x) = 0 on P_r(x) = (r/2) ∑ [max(0, h_i(x))]^2 + (r/2) ∑ [g_j(x)]^2. Kui karistusparameter r suureneb, suurem on karistus piirangute rikkumise eest.

Sisemised karistusfunktsioonid (barjääri meetod) kasutavad barrier-termi, et hoida iteratsioonid kehtivas piirkonnas. Näiteks Φ_μ(x) = f(x) - μ ∑ log(-h_i(x)), kus h_i(x) < 0, ja log-läheb lõpmatuks piirangu lähedusse. Barjäärovahendid sobivad paremini, kui soovitakse lahendada ainult kehtivas piirkonnas.

Täiendatud Lagrange’i karistus (augmented Lagrangian) ühendab Lagrange’i lähenduse ja karistuse: L_r(x, λ) = f(x) + ∑ λ_i h_i(x) + (r/2) ∑ h_i(x)^2 + ∑ η_j g_j(x) + (r/2) ∑ g_j(x)^2. Siin on λ_i ja η_j Lagrange’i multipliers ning karistus aitab parandada konvergentsi.

Täpne karistusfunktsioon tähendab, et piisavalt suur karistusparameter r tagab, et penaliseeritud unconstrained lahendus vastab originaalprobleemi lahendusele, teatud regulaarsete tingimuste korral. Karistusmeetodid on laialt kasutusel mittelineaarses optimeerimises, masinõppes ja kontrollis. Näide: f(x) = (x-1)^2, h(x) = -x ≤ 0; Φ_r(x) = (x-1)^2 + (r/2) max(0,-x)^2.