Kaksoisintegraalit

Kaksoisintegraalit ovat moniulotteisen integraalilaskennan työkalu, jota käytetään kaksidimensionaalisen alueen yli määritellyn funktion integroimiseen. Ne ovat analogisia yksidimensionaalisille integraaleille, jotka laskevat käyrän ja x-akselin välisen pinta-alan. Kaksoisintegraali voidaan tulkita kolmiulotteisen kappaleen tilavuutena, jonka pohjana on integrointialue ja jonka korkeus määräytyy funktion arvojen mukaan.

Kaksoisintegraalin laskemiseksi on usein käytännöllisintä muuntaa se iteroiduiksi integraaleiksi. Tämä tarkoittaa, että integraali lasketaan ensin yhden muuttujan suhteen pitäen toista muuttujaa vakiona, ja sitten tulos integroidaan toisen muuttujan suhteen. Integrointijärjestyksellä ei ole merkitystä tietyin ehdoin, mikä tunnetaan Fubinin lauseena. Alue, jonka yli integroidaan, voi olla suorakulmio tai monimutkaisempi muoto. Suorakulmaisen alueen yli integroitaessa rajat ovat vakioita. Epäsuorakulmaisten alueiden yli integroitaessa rajat voivat riippua toisesta muuttujasta, mikä edellyttää alueen tarkkaa määrittelyä.

Kaksoisintegraaleilla on lukuisia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa ja insinööritieteissä. Niitä käytetään esimerkiksi pinta-alojen, massojen, painopisteiden ja inertiamomenttien laskemiseen. Fysiikassa kaksoisintegraalit ovat keskeisiä esimerkiksi sähkömagneettisten kenttien ja gravitaatiokenttien laskennassa. Myös todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä niillä on merkittävä rooli.