Kaksoisintegraali

Kaksoisintegraali on määritelmä suureiden laskemiseksi kahden muuttujan funktion f(x,y) mukaan alueella D ⊂ R^2. Se antaa esimerkiksi tilavuuden z = f(x,y) yli alueen D (kun f ≥ 0), alueen pinta-ala, sekä massan, jos f on tiheysfunktio ρ(x,y). Yleisessä muodossa kirjoitetaan ∬_D f(x,y) dA, missä dA on alueen pienkoko, ja D voi olla suoran tai käyrän rajoittama alue.

Notation ja iterointi: Jos D on suorakulmainen alue [a,b]×[c,d], kaksoisintegraali voidaan laskea iteratiivisesti: ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx tai ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy. Kun D on epämuodostettu tai sen rajat ovat ei-suuntautuneita, käytetään rajoja kuten ∫_a^b ∫_{g1(x)}^{g2(x)} f(x,y) dy dx tai vastaavasti toisin päin.

Fubinin ja Tonellin teoreemat: Jos f on integroitavissa D:llä (esim. jatkuva), järjestystä voi vaihtaa: ∬_D f(x,y) dA = ∫_a^b ∫_{g1(x)}^{g2(x)} f(x,y) dy dx = ∫_{c}^{d} ∫_{h1(y)}^{h2(y)} f(x,y) dx dy. Tonellin teoreema koskee ei-negatiivisia f: voidaan vaihtaa järjestystä ilman ehtoja, kun f ≥ 0.

Muuttujien muunnokset: Tiedetään myös, että muuttamalla koordinaatteja voidaan helpottaa laskemista, käyttäen Jacobianin |J|. Esimerkiksi polar-koordinaateissa dA = r dr dθ, mikä sopii hyvin pyöreyttä hyödyntäviin alueisiin.

Käytännössä kaksoisintegraaleja sovelletaan alueen, pinnan ja massan laskemiseen sekä tilavuuden mittaamiseen, ja ne muodostavat perustan sekä geometrisille että fysikaalisille sovelluksille.