kaksoisintegraaleja

Kaksoisintegraaleja tarkoittaa kahden muuttujan integraaleja, jotka integroidaan alueen D yli tason funktiosta f(x,y). Merkitään ∬_D f(x,y) dA, jossa dA on alueen pienin pinta-alan elementti ja D on rajattu tai kohdistan alue. D voi olla suora alue, kuten a ≤ x ≤ b ja c ≤ y ≤ d, tai erikuvioinen, kuten ympyrä, sektor tai muu rajoitettu alue. Jos f on jatkuva D:llä, kaksoisintegraali määritellään usein raja-arvoina ja voidaan laskea iteratiivisesti kahdessa järjestyksessä: ∬_D f(x,y) dA = ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx = ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy (Fubinin lause).

Muuttujien muutos: Jos halutaan muuttaa koordinaatteja tai alueen kuvaus helpottuu, käytetään Jacobiania. Yleensä dA = |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv. Esimerkiksi polarikoordinaateissa x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ, ja alueen rajat voidaan saada helpommin määriteltyä.

Sovellukset ja käyttötarkoitukset: kaksoisintegraaleja käytetään alueen pinta-alan laskemiseen, massan tai tiheyden laskemiseen M = ∬_D ρ(x,y) dA sekä keskikohdan ja momenttien löytämiseen, esimerkiksi x̄ = (1/M) ∬ x ρ dA ja ȳ = (1/M) ∬ y ρ dA. Epätavalliset tai epänormaalit tapaukset käsittävät epätasaiset tai epärajatut alueet sekä ominaisarvoina määritetyt raja-arvot.

Esimerkki: unit diskin pinta-ala A = ∬_D 1 dA = π, kun D = {x^2 + y^2 ≤ 1}.