Kaarevuuden

Kaarevuus, tai kaarevuuden käsite, kuvaa sitä, miten paljon jokin viiva tai pinta poikkeaa suorasta. Geometriassa kaarevuus mittaa sitä, miten nopeasti käyrän suunta muuttuu, kun edetään käyrää pitkin. Se on tärkeä ominaisuus, joka liittyy sekä planeetta- että tilakäyrien muotoon.

Planeekäyrän kaarevuus voidaan määritellä usealla tavalla. Yleisesti ottaen, kun käyrä on parametrisoitu r(t) ja s on käyrän polun pituus (arclength), kulmakerroin T(t) = r'(t)/||r'(t)|| on käyrän yksikkövektori tangentin suuntaa kohti. Kaarevuus κ (kappa) on T'(s) muutosnopeus pitkittäisen pituuden suhteen, eli κ = ||dT/ds||. Parametrisoidulle käyrälle r(t) 3D: κ = ||r'(t) × r''(t)|| / ||r'(t)||^3. Suoraviivaiselle käyrälle y = f(x) kaarevuus on κ = |f''(x)| / (1 + f'(x)^2)^(3/2). Kaarevuuden käänteinen mitta on korkeus renkaan säde R = 1/κ.

Kolmiulotteiset ja pinnat: käyrän kaarevuuden lisäksi puhutaan pinnan erikoiskäytöstä: siellä puhutaan Gaussin kaarevuudesta K, jota määrittävät pintaa leikkaavien, toistensa suhteen kohtisuorien pääkaarevuuksien tulot (k1 ja k2). Mean-kaarevuus H on niiden keskiarvo (k1 + k2)/2. Näin ollen kaarevuus voi olla sekä eksakti käyrän muodon mitta että liittyä pinnan ulkoiseen tai sisäiseen muotoon.

Sovelluksia ovat muun muassa suunnittelu ja analyysi teedensä, sillankaarten ja nykyisten rakenteiden muodon optimointi, optiikka, robotiikka sekä biologia ja fysiikka. Kaarevuuden käsite on keskeinen myös historiaan kuuluvissa käsitteissä, kuten Eulerin ja Frenet–Serretin kaarevuus- ja kantavuuslainsäädännöissä.