tilakäyrien

Tilakäyrät ovat kolmiulotteisen tilan R^3 sisällä esiintyviä käyriä. Niitä voidaan kuvata jatkuvasti derivoituvalla kartoituksella γ:I→R^3, γ(t)=(x(t),y(t),z(t)). Mikäli käyrän nopeus γ'(t) ≠ 0 kaikilla t, käyrä on säännöllinen. Parametrisaation voi mielekkäästi asettaa arc-lenkin s mukaan, jolloin γ'(s) on yksikkönopeus ja T(s)=γ'(s) on tangenttivektori.

Käyrän geometriassa keskeisiä suureita ovat kaareus κ(s) ja vääntyminen eli torsio τ(s). Kaareus κ(s) määritellään κ(s)=||dT/ds||. Vertailu epävarmuuden välttämiseksi voidaan käyttää parametrisaatiolauseketta κ = ||γ'×γ''|| / ||γ'||^3. Normalisoitu tangentti N(s)=(1/κ) dT/ds, ja binormaalivi B(s)=T(s)×N(s). Frenet–Serret -kehikko kuvaa käyrän paikallista geometriaa: T' = κ N, N' = -κ T + τ B, B' = -τ N. Näiden avulla voidaan määrittää käyrän kiertymisen ja taittumisen tiedot paikallisesti.

Erityyppisiä tilakäyriä ovat planar käyrät (τ(s) ≡ 0), jolloin käyrä mahtuu tasolleen; ja ei-planaaristen käyrien sisällä esimerkiksi spiraalit, joiden κ ja τ ovat tiedettyjä funktioita. Esimerkkejä ovat ympyrä (planeerattu, κ vakio, τ = 0), ja helix (κ ja τ vakio, τ ≠ 0).

Olemassaolo ja yksiköys: annettujen riittävän säännöllisten kaareuden κ(s) ja torsion τ(s) funktioiden perusteella määritellään käyrä γ upottamaan kyseiset ominaisuudet, ja ratkaisu on yleensä ainutlaatuinen ylhäällä esiintyvän jäykän siirtämisen yli.

Sovelluksia ovat geometriantutkimus, robotiikka ja ohjaus, tietokonegrafiikka sekä biotiede, missä tilakäyriä käytetään esimerkiksi molekyylien ja polkujen mallintamiseen.