Jaotusteooria

Jaotusteooria on matemaatika haru, mis uurib jaotusi ehk generaliseerunud funktsioone. Jaotus defineeritakse kui lineaarsed ja pidevad funktsionaale katsetfunktsioonide ruumis. Katsetfunktsioonid on tavaliselt ruumis C_c^\infty(Ω) ehk lõppkõrgendatud ja sujuvad funktsioonid, millel on kompaktne toimumisala Ω. Iga jaotus T määrab väärtuse T(φ) igale φ ∈ C_c^\infty(Ω) ja on lineaarne ning kontinuunne sellisele ruumile. Jaotused laiendavad klassikalisi funktsioone ning võimaldavad määrata derivate, piirid ja teisi operatsioone olukordades, kus tavapärane funktsioon ei ole diferentseeritav.

Näiteid on Dirac’i delta ja selle derivaat: δ(φ) = φ(0). Delta on jaotus, mis „kogub“ väärtuse punktis. Derivaatide kaudu saab defineerida T'(φ) = −T(φ'), mis mõnikord vastab füüsikalistele või geomeetrilistele piiridele.

Tempered distributions on eriline jaotuste alamklass, mille jaoks toimib dual Schwartz’i ruumi S(R). Need lubavad Fourier’i teisendi jaotustel ning on olulised nii teoreetilises analüüsis kui ka rakendustes, näiteks signaalitöötlemises ja kvantifüüsikas.

Operatsioonid jaotustel sisaldavad tuletisi (T'(φ) = −T(φ')), korrutamist sujuva funktsiooniga (T_f(φ) = T(fφ)), konvolutsiooni ja Fourier’ teisendit. Jaotusteooria pakub tugevaid tööriistu osakaaludele ja osadele loodud lahenduste, eriti osadele jaotustele PDE-de lahendamisel („weak solutions“).

Ajalugu: jaotusteooria kustutati esile Laurent Schwartz 1950. aastatel, ehitades rangelt raamistikku, mis laiendas varasemat tööd Sobolevi ja teistes valdkondades. Täna kasutatakse jaotusteooriat laialdaselt nii teoreetilises analüüsis kui ka rakendustes.