Järjestysrelaation

Järjestysrelaatio on matemaattinen käsite, joka kuvaa tapaa, jolla joukon alkioita voidaan järjestää. Se on binäärinen relaatio, joka täyttää tietyt ehdot. Yksinkertaisimmillaan järjestysrelaatio on se, mitä arkielämässä kutsumme "pienemmäksi kuin" tai "suuremmaksi kuin".

Formaalisti järjestysrelaatio joukossa A on relaatio R, joka on joukon A x A osajoukko ja joka täyttää seuraavat kolme ehtoa kaikille joukon A alkioille a, b ja c:

1. Refleksiivisyys: a R a (jokainen alkio on itsensä kanssa relaatiossa).

2. Antisymmetrisyys: Jos a R b ja b R a, niin a = b (jos kaksi alkiota ovat keskenään relaatiossa molempiin suuntiin, niiden on oltava samoja).

3. Transitiivisuus: Jos a R b ja b R c, niin a R c (jos a on relaatiossa b:n kanssa ja b on relaatiossa c:n kanssa, niin a on relaatiossa c:n kanssa).

Järjestysrelaatiota kutsutaan usein symbolilla ≤. Kun relaatio täyttää nämä ehdot, puhutaan osittaisjärjestyksestä. Jos lisäksi jokainen kahden alkion pari on verrannollinen (ts. joko a ≤ b tai b ≤ a pätee aina), kyseessä on täydellinen järjestys. Esimerkkejä täydellisestä järjestyksestä ovat kokonaisluvut luonnollisella suuruusjärjestyksellä tai aakkosjärjestys sanoille. Osittaisjärjestyksen esimerkkejä ovat esimerkiksi joukon osajoukkojen sisältyvyysrelaatio tai matemaattisten funktioiden kasvu.