Itsesimilaattisuus

Itsesimilaattisuus on ominaisuus, jossa jokin rakenne, kuva tai prosessi näyttää samanlaiselta riippumatta siitä, missä mittakaavassa sitä tarkastellaan. Käytännössä pienempi tai suurempi osa jäljentää alkuperäistä kokonaisuutta. Määritelmä voidaan jakaa kahteen pääkategoriaan: tarkka itsesimilaattisuus, jossa osa on identtinen pienennetty kopio koko rakenteesta, ja tilastollinen itsesimilaattisuus, jossa rakenteen tai prosessin tilastolliset ominaisuudet säilyvät mittakaavan muuttuessa.

Geometrisen itsesimilaattisuuden tunnetuimpia esimerkkejä ovat fractalit, kuten Cantor-joukko, Sierpinski-triangi ja Koch-käyrä. Näissä rakenteissa pienemmät kopiot toistavat samaa kuviota tietyllä mittakaavalla. Fraktaalien mittasuhteet johtavat usein ei-integeriseen fractal-dimension ulottuvuuteen.

Stokastisessa prosessissa itsesimilaattisuus tarkoittaa, että prosessin X(t) jakauma säilyy skaalaamalla ajan arvoja: kaikille c > 0 jakauma on sama kuin c^H X(t). Tässä H on Hurstin parametri. Esimerkkinä on fractional Brownian motion, joka on tilastollisesti itsesimilaattinen. Monet prosessit ovat vain tilastollisesti itsesimilaattisia, eivätkä ole tarkasti itsesimilaattisia.

Itsesimilaattisuudella on sovelluksia luonnossa ja tekniikassa: kuva- ja signaalinkäsittelyssä, fractaalisten rakenteiden mallinnuksessa sekä verkko- ja talousmallien pitkäaikaisessa riippuvuudessa. Sen havaitseminen ja estimointi usein perustuu log-log -tulkintaan ja erilaisiin skaalautuvuusanalyysiin.