Iteroinnista

Iteroinnista tarkoittaa prosessia, jossa samaa toimintaa toistetaan useita kertoja, kunnes tulos lähestyy haluttua arvoa tai konvergoituu vakaaksi tilaksi. Sitä käytetään sekä matematiikassa että laskennallisissa tieteissä, kuten numeerisessa analyysissä, simuloinneissa ja algoritmien suunnittelussa. Keskeistä on aloitustilan ja päivityssäännön määrittäminen sekä iteraatioiden hallinta.

Matematiikassa iterointi voidaan muotoilla x_{n+1} = g(x_n), jolloin tavoitteena on löytää kiinteä piste x = g(x). Konvergenssi riippuu g:n ominaisuuksista sekä siitä, kuinka nopeasti etäisyys x_n kiinteän pisteen suhteen pienenee. Nopeus on tavallisesti lineaarinen tai kvadratiivinen konvergenssi.

Iteroinnilla on laajat sovellukset: sen avulla ratkaistaan ei-lineaarisia yhtälöitä, suoritetaan optimointeja sekä mallinnetaan dynaamisia järjestelmiä. Tunnettuja esimerkkejä ovat Newtonin menetelmä sekä lineaarisissa järjestelmissä Gauss–Seidel- ja Jacobi-metodit sekä niiden varioidut muodot.

Käytännön kannalta tärkeitä ovat pysäytyskriteerit ja toleranssit sekä enimmäismäärä iteraatioita; residuaalin ja virheen seurantaa käytetään konvergenssin varmistamiseen. Onnistunut iterointi edellyttää usein päivityssäännön valintaa, mahdollisesti säätöä tai hidastamista, jotta prosessi konvergoi vakaasti.

Iteroinnin käsite on ollut keskeinen osa numeerista laskentaa ja algoritmien suunnittelua; termi juontaa juurensa latinan sanasta iteratio.