Iterasjonsfunksjon

Iterasjonsfunksjon er en funksjon som brukes i en iterativ prosess for å generere påfølgende tilnærminger ved gjentatt anvendelse. Ofte skrives x_{k+1} = f(x_k), der x_0 er et startpunkt. Hensikten er å finne et fast punkt x*, der f(x*) = x*. I ett-dimensjonale problemer kan man oppnå konvergens til et slikt punkt hvis f er en kontraksjon i et intervall, eller generelt når Banach-fixe punkt-teoremet gjelder. Da vil sekvensen x_k nærme seg x* og ofte gjøre det med en bestemt hastighet.

Eksempler er fastepunktsiterasjon som x_{k+1} = cos(x_k) for å finne et fast punkt av cos-funksjonen, og Newtons metode kan ses som en iterasjonsfunksjon g(x) = x - f(x)/f'(x), der x_{k+1} = g(x_k) – en spesialform av iterasjon som vanligvis gir rask konvergens nær roten til f.

I høyere dimensjoner defineres iterasjonsfunksjonen som x_{k+1} = F(x_k) med F: R^n -> R^n. Et fast punkt x* oppfyller F(x*) = x*. Lokalt vil konvergens oppstå hvis Jacobianen JF(x*) har alle egneverdier inne i enhetsradius (eller tilsvarende kontraksjon-egenskaper).

Praktiske forhold inkluderer valg av startverdi, stopkriterier (for eksempel |x_{k+1}-x_k| < tol), og vurdering av om iterasjonen konvergerer eller divergerer. Iterasjonsfunksjoner brukes bredt i numerisk løsning av likninger, optimering og dynamiske systemer, og de danner grunnlaget for mange follow-up algoritmer.