IsomorphieSatz

Isomorphiesatz ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra und bezeichnet eine Familie von Sätzen, die Zusammenhang zwischen Kern, Bild und Quotienten von Homomorphismen herstellen. Am bekanntesten ist der Erste Isomorphiesatz: Sei f: A → B ein Homomorphismus einer algebraischen Struktur (Gruppe, Modul, Ring, Vektorraum). Dann ist A/ker f isomorph zu im f (dem Bild von f). Insbesondere gilt, dass bei surjektiver Abbildung A/ker f ≅ B gilt; die Zielstruktur wird also durch den Quotienten von A modulo dem Kern bestimmt.

Der Isomorphiesatz gilt in verschiedenen Kontexten wie Gruppen, Ringen, Modulen und Vektorräumen und dient als zentrales Werkzeug, um Strukturen über Quotienten und Bilder zu verstehen. Er ermöglicht die Rekonstruktion einer Struktur aus ihrem Bild über den Kern.

Weitere Isomorphiesätze: Der Zweite Isomorphiesatz lautet in Gruppen: Falls A ≤ G und N normal in G, dann AN/N ≅ A/(A ∩ N) (im Modulbereich entsprechend M + N/N ≅ M/(M ∩ N)). Der Dritte Isomorphiesatz bezieht sich auf Verkettungen von Quotienten: Wenn N ≤ M ≤ G mit N normal in G und M normal in G, dann (G/N)/(M/N) ≅ G/M.

Beispiele: Der Homomorphismus f: Z → Z, f(n) = 2n, hat ker f = 0 und im f = 2Z, daher Z/0 ≅ 2Z (eine Isomorphie zwischen Z und 2Z). Ein weiteres klassisches Beispiel ist der Reduktionshomomorphismus Z → Z/6Z mit ker 6Z; Z/6Z ist dann isomorph zum Bild.

Bedeutung: Der Isomorphiesatz ist ein fundamentales Werkzeug in der Strukturtheorie von Gruppen, Ringen, Modulen und Vektorräumen und dient der Klassifikation von Objekten bis auf Isomorphie.