Intervallmenge

**Intervallmenge**

Eine Intervallmenge ist eine mathematische Konstruktion, die in der Analysis und Topologie verwendet wird, um bestimmte Mengen von reellen Zahlen zu beschreiben. Sie besteht aus offenen, geschlossenen oder gemischten Abschnitten der reellen Zahlengerade, die durch Endpunkte definiert sind. Intervallmengen sind besonders nützlich, um Bereiche zu charakterisieren, die entweder alle Zahlen zwischen zwei festgelegten Werten enthalten oder nur die Endpunkte selbst.

Grundlegende Arten von Intervallen sind:

- **Offenes Intervall**: Notiert als (a, b), enthält alle Zahlen x mit a < x < b.

- **Geschlossenes Intervall**: Notiert als [a, b], umfasst alle Zahlen x mit a ≤ x ≤ b.

- **Halboffenes Intervall**: Notiert als (a, b] oder [a, b), enthält alle Zahlen x mit a < x ≤ b oder a ≤ x < b.

Zusätzlich gibt es spezielle Intervalle wie das unendliche Intervall (–∞, a) oder [a, ∞), das alle Zahlen kleiner oder gleich a bzw. größer oder gleich a umfasst. Kombiniert man Intervallarten, entstehen komplexere Mengen wie [a, b) ∪ (c, d].

Intervallmengen spielen eine zentrale Rolle in der Definition von Funktionen, Kontinuität und Differenzierbarkeit. Sie ermöglichen es, Domänen und Wertebereiche präzise zu beschreiben und sind Grundlage für die Analyse von Funktionen auf bestimmten Teilmengen der reellen Zahlen. Zudem sind sie wichtig in der Topologie, wo sie als Basis für die Topologie auf der reellen Linie dienen.