Interpolaatio

Interpolaatio on matemaattinen menetelmä, jolla tunnettujen pisteiden perusteella arvioidaan arvoja pisteiden välissä. Oletuksena on, että on annettu pistelista x0, x1, ..., xn ja niihin vastaavat y-arvot y0, y1, ..., yn, ja etsitään funktio p siten, että p(xi) = yi kaikille i. Tätä käytetään esimerkiksi täyttämään tiedon puutteita tai arvioimaan arvoja istutetulla tarkkuudella.

Yleisimmät interpolaatiomenetelmät voidaan jakaa lineaariseen, polynomiseen ja splini-interpolaatioon. Lineaarinen interpolaatio rakentaa jokaiselle viivakaistaleelle suoran segmentin, mikä on nopeaa ja vakaata mutta voi antaa epärealistisen kuvan käyrästä. Polynominen interpolaatio pyrkii sopimaan kaikki solmut yhteen korkea-asteiseen polynomiin; yleisimpiä ovat Lagrangen ja Newtonin menetelmät. Tämä lähestymistapa voi kuitenkin aiheuttaa suurta heilahtelua suurilla solmujen määrillä (Runge-efekti). Splini-interpolaatio jakaa alueen pienempiin osiin ja yhdistää ne sileillä näennäisesti continued-polynomipaloilla; tavallisesti käytetään cubic splines -yhteensopivia ratkaisuja, jotka tarjoavat hyvää suuruutta ja jatkuvuutta.

Interpolaatioerät riippuvat valitusta menetelmästä sekä alkuperäisen funktion ominaisuuksista ja solmujen sijoittelusta. Lineaarinen interpolaatio on helppo, mutta ei välttämättä riittävän tarkka; korkeamman asteen polynomit voivat olla herkkiä solmujen valinnalle. Splinit ovat usein tasapainoisin vaihtoehto monissa käytännön sovelluksissa.

Sovelluksia ovat muun muassa mittaustietojen täydennys, digitaalinen signaalin käsittely, kuvien ja karttojen skaalaus sekä monimutkaisemmissa mallinnuksissa arvojen täydennys tuntemattomista pisteistä. Interpolaatio eroaa ekstrapoloinnista, jota käytetään arvojen arviointiin ulkopuolelta annetusta datasta.