Integrerbarhet

Integrerbarhet er et begrep i matematikk som beskriver når en funksjon kan tildeles et integral over et område. De mest brukte rammeverkene i analyse er Riemann-integrasjon og Lebesgue-integrasjon.

Riemann-integrabilitet: For en funksjon f definert på et lukket intervall [a,b] er f Riemann-integrerbar dersom f er begrenset og mengden av punkter hvor f har diskontinuitet har mål lik 0. Da kan integralet ∫_a^b f(x) dx defineres som grense av Riemann-summer. Ved ubegrensede intervall eller ikke-begrenset f brukes improprie Riemann-integraler under passende konvergensbetingelser.

Lebesgue-integrabilitet: For et målerom (X, Σ, μ) er en funksjon f Lebesgue-integrerbar hvis det absolutte integralet er endelig, dvs. ∫ |f| dμ < ∞. For ikke-negativ f er det nok at ∫ f dμ < ∞. Lebesgue-integrasjonen utvider hva som kan integreres og gjør grenseligning og konvergens teoremer sterkere; alle Riemann-integrerbare funksjoner på et kompakt intervall er Lebesgue-integrerbare, men ikke omvendt.

Eksempel: Dirichlet-funksjonen på [0,1], lik 1 på rasjonale og 0 på irrationale, er ikke Riemann-integrerbar, mens den er Lebesgue-integrerbar med integralet 0.

Anvendelser: integrasjon er sentral i analyse og sannsynlighet, spesielt i definisjonen av forventning og i L^p-rom samt i løsning av grenseproblemer og avbildninger.