Integraaleista

Integraaleista on matematiikassa käytetty termi, joka viittaa sekä kumulatiiviseen arvoon että käyrän ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Integraaleja tarkastellaan pääasiassa kahdella tasolla: epämääräisellä integraalilla eli antiderivaatalla ja määritellyllä integraalilla, jolla lasketaan esimerkiksi alueen pinta-ala.

Epämääräinen integraali eli antiderivaatti tarkoittaa funktiota F, jonka derivointi palauttaa alkuperäisen funktion f. Merkitään ∫ f(x) dx = F(x) + C, jossa C on mielivaltainen vakio. Esimerkkejä ovat ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C (n ≠ -1) ja ∫ e^x dx = e^x + C. Peruslauseen mukaan derivoiminen ja integraatio ovat käänteisiä operaatioita.

Määritelty integraali ∫_a^b f(x) dx antaa arvon, joka vastaa käyrän f(x) ja x-akselin välillä olevaa aluetta välillä [a,b] sekä kokonaisarvoa, jota kertyy, kun f kuvataan ajan tai muun muuttujan funktiona. Jos f on jatkuva (tai muuten riittävän hyvin käyttäytyvä), määritelty integraali on olemassa. Riemannin määritelty integraali on yleinen ratkaisu, ja sille haetaan rajaa Riemannin summien avulla.

Laajemmin integraali-termi kattaa muotoja kuten Lebesgue- ja Stieltjes-integraaleja, jotka laajentavat ja käsittelevät eri tyyppisiä funktioita. Ne ovat keskeisiä mitta- ja todennäköisyysteoriassa. Integraaleja sovelletaan laajasti fysiikassa, taloustieteessä ja insinööritieteissä sekä todennäköisyyslaskennassa. Numeerinen integrointi, kuten trapetsin ja Simpsonin säännöt tai Gaussin quadrature, antaa käytännön arvot, kun analyyttinen ratkaisu ei ole helposti saatavilla.