Injektiivisia

Injektiivisia on suomenkielinen taivutettu muoto adjektiivista injektiivinen, ja sitä käytetään matematiikassa viittaamaan injektiviin karttoihin eli injektiivisiin funktioihin. Funktio f: A -> B on injektiivinen eli one-to-one, jos eri alkioilla A on erilaiset kuvat B: f(a1) = f(a2) => a1 = a2 kaikilla a1, a2 ∈ A. Vastaavasti a1 ≠ a2 tarkoittaa, että f(a1) ≠ f(a2). Tämän ominaisuuden voi ilmauksena sanoa myös siten, että f säilyttää erillisyyden.

Injektiivisyyteen liittyy useita equivalenttisia näkökulmia. Esimerkiksi jos f on injektiivinen, sille löytyy vasen kääntäjä (left inverse) rajoitettuna kuvan alueelle: g: B -> A siten, että g(f(a)) = a kaikille a ∈ A; g voidaan määritellä myös kokonaisuudessaan B:llä vapaasti asentamalla g sen ulkopuolelle.

Esimerkkejä. Funktio f(x) = 2x R:stä R:ään on injektiivinen. Funktio f(x) = x^2 R:stä R:ään ei ole injektiivinen, koska sekä 1 että -1 antavat saman kuvan 1; kuitenkin rajoitettaessa domainia esimerkiksi [0, ∞) funktio on silloin injektiivinen. Tiettyyn alkuperäiseen joukkoon ja kuviin voidaan antaa myös pienempiä esimerkkejä, kuten f: {1,2,3} -> {a,b,c}, jossa jokainen alkio saa eri kuvan.

Yhteydet. Bijektio on sekä injektiivinen että surjektiivinen. Set-kategorian kontekstissa injektiivinen funktio vastaa mono- eli monomorfismia. Yleisesti injektiivisyys antaa, että kartta ei koskaan “tasoita” eri alkioita saman kuvan alle.