Impulsfunktioner

Impulsfunktioner är distributionsbaserade verktyg som används inom signalbehandling och matematisk analys för att modellera momentana eller mycket kortvariga händelser. Den mest kända är Dirac-deltafunktionen δ(t), som inte är en vanlig funktion utan en distributionsfunktion. δ definieras genom sin verkan på testfunktioner: för varje testfunktion φ är ⟨δ, φ⟩ = φ(0). Denna sifting-egenskap ger att ∫ f(t) δ(t−t0) dt = f(t0) och att ∫ δ(t) dt = 1.

I diskret tid används Kronecker-delta δ[n], där δ[n] = 1 om n = 0 och 0 annars. Egenskaperna f * δ = f (konvolution) och ∑ f[n] δ[n−n0] = f[n0] är centrala i diskret tid.

Andra viktiga egenskaper är skalning δ(a t) = (1/|a|) δ(t) och δ′(t) som distributionens derivata, där ⟨δ′, φ⟩ = −φ′(0). δ och Heaviside-funktionen H relateras via δ = dH/dt.

En grundläggande tillämpning är impulssvaret h(t) hos ett linjärt tidsinvarianta system (LTI). Om indata är δ(t) ger systemet utdata h(t); för annan indata x(t) blir utdata y(t) = x(t) * h(t). I frekvensdomänen har δ-funktionen enkla transforms: Fourier δ(t) → 1, δ(t−t0) → e^{−j ω t0}; Laplace δ(t) → 1, δ(t−a) → e^{−a s}.