Ideaali

Ideaali on ringin eli algebraan käsite, joka kuvaa alijoukkoa, jolla on tietyt ominaisuudet. Ideaali I on additiivisesti suljettu alijoukko ja sen on oltava absorbentti kertolaskussa: jokaiselle r:sta ringistä ja a:sta I toteutuu sekä ra että ar kuuluvat I. Tämä pätee erityisesti kaksipuolisiin ideoaleihin. Kun ringi on kommuuttatiivinen, vasen ja oikea ideaali ovat sama asia, ja puhuttaessa riittää termi ideaali.

Esimerkkejä: Z (suurin osa ideoaleista) muodostaa ideaaleja nZ kullekin kokonaisluvulle n. Polynomiringin F[x] ideaali (f) on kaikki polynome, jotka ovat kerrottavien f:llä; osajoukko F[x] voi olla polynomien generaattori. Funktioiden renkaassa C(X) ideaali I, jossa funktiot maksimoivat nolla pisteessä x0, koostuu funktioista, jotka vanish at x0. Ideaali voi kuvata myös ratkaistavia ehtoja, kuten polynomien nulljäännöksiä tietyllä monistolla.

Ominaisuudet ja rakenteet: R/I muodostaa uuden renkin, kun I on ideaali. Jos I on maksimaalinen, R/I on kenttä; jos I on pääideaali, R/I on teoreettisesti yksinkertainen? tai muulla tavoin kontrolloitava. Pääidealeilla ja prima-ideoilla on keskeinen rooli alkioiden luokittelussa, ja ne liittyvät käänteisiin rakenteisiin sekä geometrian ja devastoitujen alueiden kuvaamiseen.

Laajemmin: ideaali on keskeinen käsite abelian ja ei-abelian renkeissä, ja se mahdollistaa quotient-arkeologian sekä erilaisten rakenneosien, kuten maksimaalisten ja primaaristen idealien, tutkimisen. Ideaaleilla on sekä algebraattinen että geometrinen merkitys, erityisesti algebraic-geometrian ja algebraan rakenteiden tutkimuksessa.