Háromszögmátrix

Háromszögmátrixnak nevezzük egy négyzetes mátrixot, amelynek egyik része minden eleme nullától eltér, vagyis csak a diagonalis elemei, illetve a diagonalis fölötte vagy alatta maradó sáv szerepel. A két fő típusa a felső háromszögmátrix és az alsó háromszögmátrix. Felső háromszögmátrix esetén minden a[i,j] elemre igaz, ha i > j, tehát a diagonalis alatti rész nulla. Alsó háromszögmátrix esetén pedig minden a[i,j] elemre igaz, ha i < j, tehát a diagonalis feletti rész nulla. A diagonalis elemeket általában kizárólagosan megadják a mátrix alapelemei.

Az ilyen mátrixokra jellemző, hogy a diagonalis elemek határozzák meg a spektrumot: a diagonalis elemek adják a sajátértékek halmazát. A determináns a diagonalis elemek szorzata. Invertálható akkor, ha minden diagonalis elem nem zéró; ekkor az inverz is háromszögmátrix marad.

Megoldások lineáris rendszerekre: ha A alsó háromszögmátrix, az ismeretlenek előre substitutionnal kerülnek meghatározásra; ha felső, akkor visszafelé substitution történik. Ezek a módszerek gyakran gyorsabbak, és általában O(n^2) műveletet igényelnek, míg egy általános Gauss-elimináció O(n^3) műveletet igényel.

Kapcsolatok és alkalmazások: háromszögmátrixok gyakran jelennek meg LU-dekompozícióban, ahol egy mátrix L (alsó) és U (felső) háromszögmátrixokra bomlik. Ennek köszönhetően egyszerűsödik a determináns és az inverz kiszámítása, illetve a sajátérték- és megoldási feladatok numerikus megközelítése is. Különleges formák közé tartozik a diagonális mátrix, amely mindkét oldalról csak diagonális elemeket tartalmaz.