háromszögmátrixokra

Háromszögmátrixok a lineáris algebrában olyan négyzetes mátrixok, amelyek a főátló felett vagy alatt lévő összes elemet nullává teszik. Két fő típusa van: felső háromszögmátrix és alsó háromszögmátrix.

Egy felső háromszögmátrixban minden elem a főátló alatt nulla. Ez azt jelenti, hogy az a_ij = 0, ha i > j, ahol i a sor indexe és j az oszlop indexe. Például egy 3x3-as felső háromszögmátrix így néz ki:

[ a11 a12 a13 ]

[ 0 a22 a23 ]

[ 0 0 a33 ]

Egy alsó háromszögmátrixban ezzel szemben minden elem a főátló felett nulla. Tehát az a_ij = 0, ha i < j. Egy 3x3-as alsó háromszögmátrix példája:

[ a11 0 0 ]

[ a21 a22 0 ]

[ a31 a32 a33 ]

A diagonális mátrixok, amelyekben minden főátlón kívüli elem nulla, mind felső, mind alsó háromszögmátrixnak minősülnek.

A háromszögmátrixoknak számos fontos tulajdonsága van. Determinánsuk megegyezik a főátlóbeli elemek szorzatával. Ez megkönnyíti a determináns kiszámítását. Háromszögmátrixok szorzata ismét háromszögmátrix, amelynek főátlóbeli elemei a tényező mátrixok megfelelő főátlóbeli elemeinek szorzatai.

A háromszögmátrixok különösen hasznosak számos mátrixdekompozíciós módszerben, mint például az LU-dekompozíció. A lineáris egyenletrendszerek megoldásában is szerepet játszanak, mivel a háromszögmátrix alakú rendszerek könnyen megoldhatók előre- vagy visszatelepítéssel.