Homotoppiryhmät

Homotoppiryhmät ovat matemaattisessa topologiassa keskeisiä invariantteja, joita käytetään avaruuksien erottamiseen toisistaan. Ne mittaavat, kuinka monta "erilaista" tapaa suljetut silmukat voivat deformoitua toisikseen avaruudessa. Tarkemmin sanottuna n:s homotopirymä $\pi_n(X)$ avaruudelle $X$ koostuu luokista jatkuvista kuvauksista $n$-ulotteisesta pallosta $S^n$ avaruuteen $X$, jotka voidaan jatkuvasti muuttaa toisikseen (homotopia).

Ensimmäinen homotopirymä $\pi_1(X)$ on avaruuden perusryhmä, joka kertoo silmukoiden yhdistämisoperaatiosta. Se on yleensä ei-kommutatiivinen. Korkeammat homotopirymät $\pi_n(X)$ n:lle $n > 1$ ovat aina kommutatiivisia ryhmiä. Homotopiryhmien laskeminen voi olla erittäin vaikeaa, jopa yksinkertaisille avaruuksille kuten palloille. Esimerkiksi pallojen $\pi_k(S^n)$ korkeammat homotopirymät ovat monimutkainen ja aktiivisen tutkimuksen kohde.

Homotopiryhmiä käytetään monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten algebrallisessa topologiassa, differentiaaligeometriassa ja säieteoriassa. Ne auttavat ymmärtämään avaruuksien rakennetta syvällisesti ja luokittelemaan niitä. Homotopiryhmät ovat yksi tärkeimmistä työkaluista topologisten avaruuksien luokittelussa ja ymmärtämisessä.