Határértékekkel

Határértékek, vagy limitértékek, a matematika analízisének alapfogalmai, amelyek megadják, hogy egy sorozat vagy egy függvény értékei milyen érték felé közelítenek, amikor a vizsgált változók a megadott ponthoz vagy a végtelenhez közelednek. A fogalom a folytonosság, a konvergencia és a differenciál- és integrálszámítás alapjául szolgál.

Sorozatoknál határértékekkel írjuk le a viselkedést: egy {a_n} sorozat esetén azt mondjuk, hogy L a határértéke, ha a_n → L. Formálisan minden ε>0 esetén létezik N, hogy n≥N esetén |a_n−L|<ε.

Függvényeknél határértékekkel vizsgáljuk a limitet: lim_{x→a} f(x) = L jelöli, hogy a megfelelő δ-ε feltétel teljesül. Megkülönböztetünk egy- és kétoldali határértékeket: lim_{x→a+} és lim_{x→a−}, és a határérték lehet végtelen is vagy nem létezik.

Határértékekkel operáló feladatok közé tartoznak a határérték-feladatok. Ezekben a feladatokban a megoldást olyan feltételekhez igazítják, amelyek a megoldó függvény értékeit a domén határán meghatározott értékekhez kötötten adják meg. Gyakori példa: olyan u(x) függvény, amelyre u(0)=0 és u(1)=1.

A határértékek meghatározzák a megközelítés módját, de nem mindig egyezik a konkrét értékkel: a határérték létezése nélkül is lehet, hogy a függvényérték meghatározott legyen, vagy fordítva.