Hamiltonoperátorának

A Hamiltonoperátor, vagy Hamilton-operátor, a kvantummechanikában a rendszer teljes energiáját reprezentáló lineáris operátor. Ez az operátor általában önadjoin (önhozott) és hermitikus, így spektruma valós értékekből áll. A Hamiltonoperátor meghatározza a rendszer időbeli fejlődését és az energiamezők elrendezését; ezért kulcsfontosságú a kvantumállapotok leírásában és a mérési eredmények értelmezésében.

A nem relativisztikus részecske helyfüggő potenciállal V(x) a Hamiltonoperátor tipikus alakja H = - (ħ^2 / 2m) ∇^2 + V(x). A kinetikus energia operátora - (ħ^2 / 2m) ∇^2, a potenciál pedig a V(x) multiplicáló operátora. Ezen a formán keresztül a H leírja a részecske energiáját a térbeli térben és a külső erők hatását.

Az időfejlődés leírását a Schrödinger-egyenlet adja: iħ ∂ψ/∂t = H ψ. Ha a Hamiltonoperátor időfüggetlen, a megoldások stacionárius állapotok: H φ_n = E_n φ_n, ahol E_n az energiaértékek és φ_n a hozzá tartozó állapotok. A rendszer időfüggetlen leírásában az állapotok és energiák szétválasztódnak, és a time-evolution egységsugarú operátorral, U(t) = exp(-iHt/ħ), írható le.

Példák közé tartozik a harmonikus oszcillátor H = p^2/(2m) + (1/2) m ω^2 x^2, ahol E_n = ħω(n + 1/2), vagy a hidrogénatom H = p^2/(2m) - e^2/r, ahol az energiák n-számú kvantumszintjei adottak. Mindezekben a Hamiltonoperátor a rendszer alapvető szerkezeti eleme, amely a kvantumállapotok energiáját és dinamikáját egyidejűleg meghatározza. A szélesebb értelemben a Hamiltonoperátor lehet akár véges-dimenziós mátrix, részecskék közötti kölcsönhatásokkal bíró rendszer vagy végtelen-dimenziós differenciáloperátor, attól függően, hogy milyen fizikai modellről van szó.