Hamiltonformuleringer

Hamiltonformuleringer refererer til en måte å formulere klassisk mekanikk og dynamiske systemer på, der man arbeider med et sett generelle koordinater q_i og deres konjugerte momenter p_i. Tilstanden beskrives i faseplassen som y = (q, p), og bevegelsen følger et sett av førsteordens differensiallikninger i stedet for andreordens Newton-ligninger. Hamiltonianet gir en energifunksjon som styrer tidsutviklingen.

Hamiltonianet H(q, p, t) er definert som Legendre-transformasjonen av Lagrange-funksjonen L(q, qdot, t): H = ∑ p_i qdot_i − L, hvor p_i = ∂L/∂qdot_i og qdot_i uttrykkes som funksjon av (q, p, t) via denne relasjonen. For tidsuavhengige systemer følger Hamiltons ligninger: dq_i/dt = ∂H/∂p_i og dp_i/dt = −∂H/∂q_i, evt. med eksplisitt tidstillegg ∂H/∂t.

Dessuten kan tidens utvikling uttrykkes ved Poisson-brøker: df/dt = {f, H} + ∂f/∂t, der {f, g} = ∑ (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i). Dette rammeverket gir en naturnisimbering av bevaringslover og symmetrier i systemet, og ligger i grunnlaget for senere kvantemekanikk ved canonical kvantisering, hvor q_i og p_i tilordnes operatører med [q_i, p_j] = iħ δ_ij.

Historisk ble ideen utviklet av William Rowan Hamilton på 1830-tallet og har siden hatt omfattende innflytelse i analytisk mekanikk, astrodynamikk, kvantefysikk, samt i geometrisk og numerisk formulering av dynamiske systemer. Hamiltonformuleringer er også sentrale i momenter som Hamilton-Jacobi-teori og symplektisk geometri, som underbygger moderne tilnærminger i både fysikk og ingeniørfag.