Halvvinkel

Halvvinkel är ett begrepp inom geometri och trigonometri som avser en vinkel som är hälften av en större given vinkel. Termen används främst i samband med halvvinkelformler, vilka uttrycker sinus, cosinus och tangens av θ/2 i termer av sinus och cosinus av θ. Dessa formler är centrala när man vill arbeta med kurvor, vinkelfördelningar och olika beräkningar där halvering av vinklar är naturlig.

De grundläggande halvvinkelformluerna är:

sin(θ/2) = ± sqrt((1 − cos θ)/2),

cos(θ/2) = ± sqrt((1 + cos θ)/2),

tan(θ/2) = sin θ /(1 + cos θ) = (1 − cos θ)/ sin θ.

Tecknet på sin(θ/2) och cos(θ/2) bestäms av kvadranten där θ/2 ligger. Dessa formler följer ur dubbla vinkelformlerna sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) och cos θ = cos^2(θ/2) − sin^2(θ/2).

Användning av halvvinkel ingår i många tekniska och teoretiska tillämpningar. De förenklar beräkningar där vinkelhalvering förekommer, till exempel vid integrering med substitutionsmetoden t = tan(θ/2) eller när man löser trigonometriska ekvationer. Halvvinkelformlerna används också inom geometri och datorteknik vid konstruktioner och analyser som involverar vinkelhalvering eller kvadratkomplettering av trigonometriska uttryck.

Se även: dubbla vinkeln, trigonometriska identiteter, tangent-halvvinkel-substitution. Halvvinkel är därmed ett väsentligt verktyg i trigonometri för att hantera vinkelhalvering på ett effektivt sätt.