Hajautusfunktio

Hajautusfunktio, eli kumulatiivinen jakaumafunktio, on tilastotieteessä käytetty funktio, joka kuvaa satunnaismuuttujan X jakauman kertymää. Se määritellään F(x) = P(X ≤ x) kaikilla x ∈ R. Hajautusfunktio kertoo todennäköisyyden, että muuttuja on enintään arvo x.

F on monotonisesti kasvava ja oikeakätisesti jatkuva; sen rajat ovat F(-∞) = 0 ja F(∞) = 1. Diskreetissä jakaumissa F muuttuu askeleittain, ja kunkin hypyn suuruus at pisteessä x0 vastaa P(X = x0). Jos X:llä on tiheys f, F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Tiheydellä ollessa määritelty F' = f lähes kaikkialla; jatkuvissa jakaumissa F on jatkuva.

Pääkäyttö on todennäköisyyksien laskeminen jakaumasta: P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a). Jokainen jakauma voidaan määritellä kokonaisuutena F:stä, ja vastaavasti tiheyden tai massan avulla saa F:n. Kvantiilifunktio F^{-1}(u) = inf{ x : F(x) ≥ u } antaa keinon muuntaa Uniform(0,1) -satunnaislukuja X:n jakaumaksi. Näin voidaan suorittaa simulointeja.

Esimerkkejä: normaalijakauman F on S-käyrä; eksponentiaalijakauman F(x) = 1 − e^{−λx} (x ≥ 0); tasajakauman F(x) = 0, kun x < a, (x−a)/(b−a) a ≤ x ≤ b, ja 1, kun x > b. Hajautusfunktio on keskeinen käsite sekä teoria- että sovellustilastoissa, ja sitä käytetään muun muassa todennäköisyyslaskennassa, simuloinnissa ja inferenssissä.