eksponentiaalijakauman

Eksponentiaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jota käytetään mallintamaan odotus- tai viiväaikaa tapahtuman seuraavaksi tapahtumiselle. Jakauman tiheysfunktio määritellään parametri λ > 0 (nopeus tai taajuus): f(x) = λ e^{-λ x} kaikilla x ≥ 0. Kumulatiivinen jakauma on F(x) = 1 - e^{-λ x}, x ≥ 0.

Ominaisuudet: Odotusarvo E[X] = 1/λ ja varianssi Var(X) = 1/λ^2. Jakauma on muistettava (memoryless): P(X > s + t | X > s) = P(X > t) kaikilla s, t ≥ 0. Momentit: MGF M_X(t) = λ/(λ - t) (t < λ).

Yhteys Poisson-prosessiin: Poisson-prosessissa odotusajan välinen aika on eksponentiaalinen, ja t ajanjaksolla tapahtumien lukumäärä n(t) on Poisson-jakautunut parametri λ t.

Parametrien vaihtoehto: skaala θ = 1/λ antaa pdf f(x) = (1/θ) e^{-x/θ}, x ≥ 0; E[X] = θ ja Var(X) = θ^2.

Estimaatio ja sovellukset: havainnoista X1,...,Xn maksimikertoimen estimaatti on λ̂ = n / ∑ Xi. Eksponentiaalijakaumaa käytetään laajalti viive- ja palveluaikojen sekä luotettavuuden mallintamisessa, queueing-teoriassa, telekommunikaatiossa sekä elinikä- ja toimitusaikatutkimuksissa.