Gruppadditivitet

Gruppadditivitet är en matematisk egenskap där en funktion bevarar binär gruppoperation. Om (G,+) och (H,+) är abelianska grupper och f: G → H är en funktion, kallas f additiv eller gruppadditiv om f(x + y) = f(x) + f(y) för alla x, y i G. Sådana funktioner kallas ofta grupphomomorfier, eftersom de är homomorfier mellan grupper. När G och H är vektorrum är additivitet en del av definitionen av en linjär avbildning.

Exempel: f(x) = a x på R → R är additiv eftersom f(x+y) = f(x) + f(y). Mer allmänt är varje linjär avbildning mellan vektorrum additiv.

En central ekvation i studiet av gruppadditivitet är Cauchy-ekvationen f(x+y) = f(x) + f(y). På mängden av de reella talen visar sig alla lösningar vara av formen f(x) = c x om f uppfyller regularitetsvillkor som kontinuitet någonstans, eller begränsning/boundedhet på ett intervall; utan sådana antaganden finns oregelbundna lösningar konstruerade med en Hamelbas.

Definitionen generaliseras till andra grupper och andra binära operationer, där f(x ⊙ y) = f(x) ⊙ f(y) gäller. I kemi används termen ofta för att beskriva gruppbidragsmodeller där egenskaper som entalpi antas kunna uppskattas som summan av bidrag från funktionella grupper i molekylen.