Grundperioden

Grundperioden bezeichnet die kleinste positive Periode einer periodischen Funktion oder eines periodischen Signals. Eine Funktion f ist periodisch, wenn es ein T > 0 gibt mit f(t + T) = f(t) für alle t. Unter der Grundperiode versteht man das kleinste solche T; sie ist eindeutig definiert, sofern sie existiert. Die Nullfunktion besitzt zwar Periode, aber keine eindeutige Grundperiode, da jede positive Zahl als Periode gilt.

Bei diskreten Signalen gilt analog: Ein Signal x[n] ist periodisch, wenn existiert N > 0 mit x[n + N] = x[n] für alle n. Die Grundperiode ist das kleinste positive N, das diese Eigenschaft erfüllt. Ist kein endliches N vorhanden, so ist das Signal weder periodisch noch besitzt es eine Grundperiode.

Beispiele verdeutlichen das Konzept. Beispiel 1: f(t) = sin(t) + sin(2t). Die einzelne Periode von sin(t) ist 2π, die von sin(2t) ist π; die kleinste gemeinsame Periode beider Terme ist 2π, daher besitzt f eine Grundperiode T = 2π. Beispiel 2: f(t) = sin(t) + sin(√2 t) ist nicht periodisch, da die Frequenzen nicht durch eine gemeinsame Periode geteilt werden können; es besitzt keine fundamentale Grundperiode.

Zusammenhang mit Frequenz und Fourier-Analyse: Für eine periodische Funktion mit der Grundperiode T gilt die fundamentale Frequenz ω0 = 2π/T. In der Fourierreihe treten die Frequenzen als ganzzahlig Vielfache von ω0 auf. Bei diskreten Signalen entspricht die Grundperiode N der kleinsten gemeinsamen Vielfachen der einzelnen diskreten Perioden.

Hinweis: Falls Komponenten incommensurabel sind (keine gemeinsamen Nenner existieren), existiert keine endliche Grundperiode; das System ist dann nicht exakt periodisch, sondern quasisperiodisch oder aperiodisch.