Grensepunkter

Grensepunkter er et grunnleggende begrep i topologi og analyse. På norsk betegner man et punkt x som et grensepunkt for en mengde A i et topologisk rom X dersom hver åpen omgivelse av x inneholder et punkt fra A som er forskjellig fra x. Med andre ord: for hver åpen omgivelse O rundt x har O ∩ (A \ {x}) ikke noe tomt skjæringspunkt. Mengden av alle grensepunkter til A kalles av og til den derivert mengden og betegnes A'.

I metriske rom og andre første-tellbare rom er flere karakteriseringer like. x er et grensepunkt for A hvis og bare om det eksisterer en følge (a_n) i A som ikke er lik x for hvert n, og som konvergerer til x. En annen måte å uttrykke det på er at x tilhører lukkningen av A \ {x}.

Grensepunkter kan ligge både i og utenfor A. Eksempel: A = {1/n : n ∈ N} i R har grensepunktet 0, som ikke tilhører A. For A = Q i R er hvert punkt av R et grensepunkt for A, siden rasjonale er dense i de reelle tallene. En endelig mengde har ingen grensepunkter i et normalt topologisk rom som R med den vanlige metrikk.

Relasjonsmessig hører grensepunkter til grensepunkter og avgrensning: A' er delmengden av grensepunkter; lukningen av A er A ∪ A'. Grensepunkter er derfor sentrale i studiet av konvergens, lukning, grenser og topologisk struktur.