Gittertranslationalsymmetrie

Gittertranslationale Symmetrie bezieht sich auf die Invarianz eines Kristallgitters unter Translationen um Gittervektoren. Ein Gitter L besteht aus drei Basisvektoren a1, a2, a3, so dass jeder Punkt durch R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 (mit ganzzahligen n i) erreicht wird. Die Translationen T_R bilden eine abelsche Gruppe und sind zentrale symmetrische Operationen in periodischen Systemen.

In einem periodischen Hamiltonian H kommutieren die Translationen mit H, sodass [H, T_R] = 0. Die Elektronenwellenfunktionen lassen sich durch Bloch-Funktionen schreiben: ψ_k(r) = e^{i k·r} u_k(r) mit u_k(r+R) = u_k(r). Der Kristallimpuls k ist definiert modulo die reziproke Gittervektoren, wodurch Observables in erster Linie durch die Bandstruktur E_n(k) und die damit verbundene Brillouin-Zone beschrieben werden.

Die translationalen Symmetrien führen zur Diskretheit der Bandstruktur, zur Erhaltung des kristallmomentums (bis auf eine reziproke Gittervector) und zu charakteristischen Dispersion-Beziehungen. Das reziproke Gitterzanahme definiert, dass sich physikalische Eigenschaften periodisch in k-Vektoren verhalten.

Experimentell zeigen sich die translationalen Symmetrien durch Bragg-Beugungen in der Röntgen- oder Elektronendiffraction, die regelmäßige Peaks an Lagrößenreihen der Gitterabstände erzeugen.

Defekte wie Vacanzen, Interstitials oder Versetzungen brechen die ideale Translationalsymmetrie lokal, während in feinkörnigen oder ungeordneten Materialien die Symmetrie nur noch ungefähr gilt. In der Kristallphysik ist die Gittertranslationale Symmetrie grundlegend für das Verständnis von Bandstrukturen, Elektronen- und Phononenverhalten sowie von Diffaktionsmustern.