Gewichtszustände

Gewichtszustände (englisch: weight states) bezeichnet in der Repräsentationstheorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren die gemeinsamen Eigenvektoren der Cartan-Unteralgebra. Sei V eine endliche-dimensionale Darstellung einer semisimple Lie-Algebra g und h ihr Cartan-Unteralgebra. Dann zerlegt sich V in eine direkte Summe der Gewichtsräume V_λ = {v ∈ V | h·v = λ(h) v für alle h ∈ h}. Die lineare Funktion λ ∈ h* heißt Gewicht, und λ(h) ist der entsprechende Eigenwert. Die Dimension von V_λ nennt man Gewichtsmultiplikation. Die Menge aller Gewichte bildet das Gewichts-System des Moduls. In der Theorie der semisimple Lie-Algebren führt die Theorie der höchsten Gewichte dazu, dass jedes irreduzible Modul durch sein höchstes Gewicht bestimmt ist; alle Gewichte liegen im entsprechenden Gewichtsraum, und die übrigen Gewichte ergeben sich durch die Weyl-Gruppe-Aktionen.

Beispiele: In der SU(2)-Darstellung mit Spin j ist das Cartan-Unteralgebra von J_z erzeugt, und die Gewichtswerte sind m ∈ {-j, -j+1, ..., j}. Die zugehörigen Gewichtsräume sind eindimensional, und die zugehörigen Eigenvektoren |j,m> nennt man Gewichtszustände.

Bedeutung: Gewichtszustände dienen der feinen Auflösung von Darstellungen und helfen bei der Klassifikation von Darstellungen, der Berechnung von Charakteren und bei physikalischen Anwendungen wie Kopplungsregeln und Spektren. In der Physik dienen Gewichtszustände zur Beschreibung von Messgrößen, die durch gemeinsam kommutierende Operatoren bestimmt werden, etwa die Projektionen des Gesamtdrehimpulses.