Gausskvadratura

Gausskvadratura, eller Gauss-kvadratur, är en metod inom numerisk integration som beräknar ett definite integral genom en summa av funktionvärden vid särskilda noder multiplicerade med vikter. Metoden är särskilt effektiv eftersom den är exakt för alla polynom upp till grad 2n−1 när man använder n noder.

På standardintervallet [-1,1] är noderna x_i roten till Legendrepolynomet P_n(x), och vikterna w_i ges av w_i = 2 / [(1 − x_i^2) (P'_n(x_i))^2]. För en funktion f är approximationen ∫_{−1}^1 f(x) dx ≈ ∑_{i=1}^n w_i f(x_i). Denna konstruktion härrör från faktumet att Legendre-polynom är ortogonala med viktfunktionen 1 över [-1,1].

För ett generellt intervall [a,b] används en enkel affinitetsförvandling: ∫_a^b f(x) dx ≈ (b−a)/2 ∑_{i=1}^n w_i f( (b−a)/2 x_i + (a+b)/2 ). Vikterna förblir de samma i den avsedda skalan, upp till multiplikationen med (b−a)/2.

Gauss-kvadraturer avses ofta som Gauss-Legendre när vikten är konstant (w(x)=1). Det finns också andra Gauss-kvadraturer associerade med olika viktfunktioner, till exempel Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre och Gauss-Hermite, som används för specifika ändamål och domäner.

Historiskt introducerade Carl Friedrich Gauss metoden under första hälften av 1800-talet. Idén bygger på sambandet mellan exakt integrering av polynom och forska om ortogonala polynom, och används inom numerisk analys, spektrala metoder och beräkning av integraler i olika tillämpningar.