Gammaverdeling

Gammaverdeling, ofte kalt gammafordeling, er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling med støtte x > 0. Den brukes til å modellere positive kvantiteter som ventetider og mengder som er summen av flere uavhengige, positive bidrag. Fordelingen har to formparametere: shape α > 0 og scale θ > 0 (eller alternativt shape α og rate β = 1/θ). Densiteten i parameteriseringene er:

- α, θ: f(x) = x^{α−1} e^{−x/θ} / (Γ(α) θ^{α}), for x > 0.

- α, β: f(x) = β^{α} x^{α−1} e^{−β x} / Γ(α), for x > 0,

hvor Γ(α) er gammafunksjonen.

Forventning og varians er:

- α, θ: E[X] = α θ og Var(X) = α θ^2.

- α, β: E[X] = α/β og Var(X) = α/β^2.

Gammafordelingen inkluderer χ²-fordelingen som en spesialtilfelle når β = 2 og α = ν/2. Den er også en sumfordeling: X kan være summen av k uavhengige eksponensielle variabler med samme rate når α = k er et heltall.

Egenskaper: positiv støtte, asimutisk til høyre for små α, og form- og skala-parametrene styrer henholdsvis form og spredning. Fordelingen er en del av eksponensialfamilien og er konjugat prior for Poisson- og eksponentialmodeller i Bayesiansk analyse.

Anvendelser inkluderer ventetidsmodeller i køteori, hydrologi, finans og pålitelighetsanalyser, samt generell modellering av positive, skjevfordelte data.