GammaEigenschaften

GammaEigenschaften bezeichnet in der Mathematik eine Gruppe zentraler Eigenschaften der Gamma-Funktion Γ und ihrer Anwendungen in Analysis, Statistik und verwandten Gebieten. Der Begriff fasst sowohl analytische Merkmale als auch Beziehungsmuster zusammen, die sich aus der Definition und den zugehörigen Funktionsgleichungen ergeben.

Zu den wichtigsten Eigenschaften der Gamma-Funktion gehören die Rekursionsformel Γ(z+1) = z Γ(z) und die Fortsetzung Γ: C \ {−n : n ∈ N0} → C als meromorphe Funktion mit einfachen Polen an den nicht positiven ganzen Zahlen. Die Reflexionsformel Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z) und die Verdoppelungsformel Γ(z) Γ(z+1/2) = 2^{1−2z} √π Γ(2z) liefern zentrale Verbindungsgleichungen. Weiterhin besitzt Γ eine gesamte Erweiterung durch die Weierstraß-Produktdarstellung und unterliegt asymptotischer Beschreibung via Stirling-Formel Γ(z) ~ √(2π) z^{z−1/2} e^{−z} für große z. Die Gamma-Funktion ist-logarithmisch-konvex und besitzt damit nützliche Stabilitäts- und Approximationseigenschaften.

In der Stochastik wird oft die Gamma-Verteilung betrachtet. Eine Zufallsvariable X, die Gamma(k, θ) mit Formparameter k > 0 und Skalenparameter θ > 0 hat, besitzt Erwartungswert E[X] = kθ und Varianz Var(X) = k θ^2; Summen unabhängiger Gamma-Zahlen mit gemeinsamer Skala θ ergeben Gamma(sum k_i, θ). Die Gamma-Verteilung hat enge Verbindungen zu Exponential- und Poissonprozessen.

GammaEigenschaften finden breite Anwendungen in Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Physik und numerischer Mathematik. See also: Gamma-Funktion, Gamma-Verteilung.