Førstetellbare

Førstetellbare er en egenskap ved topologiske rom. Et topologisk rom X kalles førstetellbart hvis hvert punkt x i X har en tellebar lokalbase, det vil si en mengde av åpne nabolag U1, U2, … med x ∈ Un slik at for hvert åpent nabolag V til x finnes det et n slik at Un ⊆ V. På norsk kan man si at hvert punkt har en tellbar lokal base av åpne nabolag.

En vanlig måte å formulere dette på er at det finnes en følger av åpne nabolag rundt hvert punkt som reduseres mot punktet og som fanger opp alle åpne nabolag rundt det punktet. En viktig konsekvens er at i et førstetellbart rom kan konvergens og lukking ofte beskrives ved følger av elementer: hvis x ligger i lukkingen av en mengde A, finnes det en følge i A som konvergerer mot x. Denne følger-egenskapen gjelder ikke nødvendigvis i generelle topologiske rom.

Eksempler og kjennetegn. Alle metriske rom er førstetellbare, siden man kan velge nabolagene B(x,1/n). Derfor er R med den vanlige topologien førstetellbar. Produktrom som består av tellbart mange faktorer er førstetellbare, men produkter av uendelig mange faktorer med ubegrenset indekssett kan være ikke-førstetellbare i produkt-toppologi. En kjent ikke-førstetellbar situasjon er den ko-finite-toppologien på en uendelig mengde, hvor det ikke finnes en tellebar lokalbase i et vilkårlig punkt.

Forhold til andre egenskaper. Førstetellbarhet er en relativt svak egenskap; alle metriserbare rom er førstetellbare, men ikke alle førstetellbare rom er metriserbare. En sterkere egenskap er andre-­tellbarhet (second countability), som i praksis innebærer at hele rommet har en tellbar base for hele toppologien.

Se også: andre tellbarhetsbegreper, metriserbarhet og relaterte topologiske egenskaper.