Funktionerna

Funktioner är en grundläggande matematisk konstruktion som beskriver hur varje element i en mängd X tilldelas exakt ett element i en mängd Y. En sådan regel kallas en funktion och betecknas ofta f: X → Y, där f(x) anger värdet i Y som tilldelas x i X. Domänen (definitionsmängden) är mängden av möjliga indata, medan kodomänen är den mängd av möjliga utdata. Bilden av en funktion består av de faktiska värden f(x) när x varierar över domänen och kallas ibland bildmängden.

Funktioner kan jämföras och konstrueras på olika sätt. Två funktioner f och g från X till Y anses lika om f(x) = g(x) för alla x i X. Man kan också tala om funktioners sammansättning: om f: X → Y och g: Y → Z bildas en ny funktion g ∘ f: X → Z där (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Viktiga egenskaper hos funktioner är injektiv, surjektiv och bijektiv. En funktion f är injektiv (en-till-en) om olika x i X ger olika f(x) i Y. Den är surjektiv (täckande) om varje y i Y har minst ett x i X med f(x) = y. En funktion är bijektiv om den både är injektiv och surjektiv och därmed har en invers funktion f^-1: Y → X, där f^-1(f(x)) = x och f(f^-1(y)) = y.

Vanliga typer av funktioner inkluderar polynom, rationella funktioner, exponentiella funktioner, logaritmer och trigonometiska funktioner. Funktioner används för modellering, bevis, analys och dataprocesser inom matematik, naturvetenskap och teknik.