Funktioanalyysissä

Funktioanalyysi on matematiikan osa-alue, joka tutkii funktioiden ja niiden muodostamien tilojen rakennetta sekä lineaarisia operaatioita näiden tilojen välillä. Keskeisiä käsitteitä ovat tilat, joissa on määritelty etäisyys tai pituus, kuten Banach-tilat ja Hilbert-tilat. Näissä tiloissa tutkitaan lineaarisia operaatioita, erityisesti rajattomia operaatioita, niiden spektriä ja adjointia. Tärkeitä teoreemoja ovat Hahn–Banachin lause, Banachin-Steinhausin periaate sekä Open Mapping -teoreemi ja Closed Graph -teoreemi. Näitä tiloja tarkastellaan myös heikkojen ja heikko–* topologioiden kautta.

Esimerkkejä tiloista ovat Lp-tilat, C(K)-tilat ja C*-algebrat. Spektriteoria käsittelee operaatioiden spektriä ja resolventtia; kompaktit operaatit sekä Fredholm-teoria ovat keskeisiä, kun tutkitaan ratkaisujen olemassaoloa ja luonnetta. Rieszin esitys ja dualiteetti yhteensovittavat funktionaaliset tilat eräiden funktioiden esityksiin sekä mitta- ja integraalifunktioihin. Sovelluksia on sekä puhtaassa matematiikassa, kuten differentiaalilaskennan ja PDE:n analyysissä, että soveltavassa matematiikassa, kuten signaalin käsittelyssä, tilastollisissa menetelmissä ja optimoinnissa.

Funktioanalyysi kehittyi 1800–1900-lukujen aikana Rieszin, Banachin ja Hilbertin työn pohjalta ja muodostaa nykyisin keskeisen työkalun sekä teoreettisessa että soveltavassa matematiikassa.