Fsigmamängder

Fsigmamängder, eller F_sigma-mängder, är en klass av underföljder i ett topologiskt rum. Låt X vara ett topologiskt rum. En mängd A ⊆ X är en F_sigma-mängd om det finns en följd av slutna mängder F1 ⊆ X, F2 ⊆ X, … så att A = ⋃_{n=1}^∞ F_n. Begreppet F_sigma står i kontrast till G_delta-mängder, som är varianter av öppna mängder: en G_delta-mängd är en räcka av öppna mängder istället för slutna.

Egenskaper och relationer:

- Varje sluten mängd är en F_sigma-mängd (skriven som unionen av en enda sluten mängd).

- F_sigma-mängder är stängda under ändlig och räknelig unioner, samt under snitt av två F_sigma-mängder: om A = ⋃ F_n och B = ⋃ G_m är F_sigma-mängder, så är A ∩ B = ⋃_{n,m} (F_n ∩ G_m) också F_sigma.

- Komplementet till en F_sigma-mängd är en G_delta-mängd.

- I ett T1-rum är varje räknbar mängd F_sigma, eftersom varje singleton {x} är sluten.

Relation till Borel-hierarkin:

- F_sigma-mängder tillhör den andra nivån i Borel-hierarkin och betecknas ofta som Sigma^0_2. Deras komplement är G_delta vilket tillhör Pi^0_2.

Exempel:

- I det reella talmängden R med standardtopologi är Q, mängden av rationella tal, F_sigma eftersom Q = ⋃_{q∈Q} {q} och varje {q} är sluten i R.

- Slutna mängder är F_sigma, medan irrationella tal är en G_delta-mängd men inte nödvändigtvis F_sigma.

Användning:

F_sigma-mängder används ofta inom beskrivande mängdteori och måttteori för att analysera Borel-sigma-algebran och begränsa komplexiteten hos olika mängder.