Fraktáldimenzió

Fraktáldimenzió, vagy fractal-dimenzió, a fraktálok geometriai jellemzője, amely a halmaz részletességének mértékét jellemzi, gyakran nem egész számú értékekben. A koncepció lehetővé teszi olyan objektumok leírását is, amelyek hagyományos, egész számú topologikus dimenzióval nem kifejezhetők. Célja, hogy érzékeltesse, mennyire összetett a felület vagy a halmaz a skála csökkentésével.

Két fontos megközelítés létezik. A Hausdorff-dimenzió a halmaz legkisebb d értékét adja meg, amelynél a halmaz Hausdorff-mértéke végtelen vagy nullává válik. Gyakorlati környezetben gyakran a méretalakulás log-log görbéje alapján határozzák meg. A Box-counting vagy Minkowski-dimenzió szerint N(ε) a halmazt lefedő, legfeljebb ε átmérőjű darabok száma, és N(ε) körülbelül ε^{-d}; a dimenzió ezt a skálázódást írja le, d a felezés mértéke. Mindkét megközelítés hasonló viselkedést mutat klasszikus fraktálokra, de nem minden halmazra egyezik meg.

Ismert példák: a Koch-görbe Hausdorff-dimenziója d_H = log 4 / log 3 ≈ 1,2619; a Sierpiński-dreieck d = log 3 / log 2 ≈ 1,585; a Cantor-készlet d = log 2 / log 3 ≈ 0,6309. Ezek a példák jól illusztrálják, hogyan lehet nem egészeket kapni, miközben a hossz vagy felület értékei szokatlan módon viselkednek a skála növelésekor.

Jellemzők közé tartozik az önhasonlóság vagy önismétlőség, amely a részletek végtelen fokú megjelenítését teszi lehetővé. Ezenkívül a fraktáldimenzió kulcsfontosságú a természetes jelenségek leírásában, textúra-elemzésben, kép- és videófeldolgozásban, turbulenciák és más összetett rendszerek jellemzésében.

Megjegyzés: a különböző definíciók eltérő értékeket adhatnak, és a halmaz jellege szerint válik relevussá a kiválasztott megközelítés.