Fouriermuunnokseen

Fouriermuunnos on matemaattinen muunnos, jolla aikatasaisten signaalien taajuuskomponentit saadaan eriytettyä ja analysoitua. Se on keskeinen käsite signaalien käsittelyssä, kuvantamisessa sekä monissa fysiikan ja insinööritieteiden malleissa.

Jatkuva Fourier-muunnos ja sen käänteinen muunnos kuvataan yleisesti annettujen konventioiden mukaan. Yleinen muunnos on F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt, ja sen käänteismuunnos on f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω, missä ω on pyörimisnopeuden kaltaista kulmataajuutta. Joissakin konventioissa käytetään taajuutta ν ja 2π:n tekijöitä; nämä ovat erisävyjä, mutta perusidea pysyy samana: signaali f(t) voidaan esittää yhdeksä osa-alueiden summa tai integraationa eri taajuuksilla.

Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) soveltaa samaa ideaa diskreetissä ajassa: F_k = ∑_{n=0}^{N-1} f_n e^{-2π i k n / N}, ja vastaavasti f_n = (1/N) ∑_{k=0}^{N-1} F_k e^{2π i k n / N}. Suurin käytännön etu on nopea Fourier-muunnos (FFT), joka laskee DFT:n nopeasti n–log N -aikavaativuudella ja mahdollistaa suurten signaalien analyysin.

Ominaisuuksiin kuuluu lineaarisuus, aikamuunnosten ja taajuusmuutosten eksplikoiva käyttäytyminen sekä konvoluution muunnoksen totuudenmukaisuus: konvoluutio ajassa vastaa tulonaoloa taajuudella. Monissa sovelluksissa kuten spektrianalyysissa, suodatusessa ja kuvankäsittelyssä 2D-Fouriermuunnosta käytetään laajasti.