Forventningsværdien

Forventningsværdien, eller den forventede værdi, er en central størrelse i sandsynlighedsteori og statistik. Den beskriver gennemsnittet af en tilfældig variabels værdier, hvis eksperimentet gentages mange gange og resultaterne gennemsnitligt sammenfattes. Den kan ses som et vægtet gennemsnit, hvor sandsynlighederne fungerer som vægte.

For en diskret variabel X med mulige værdier x1, x2, … og sandsynligheder p1, p2, … er forventningsværdien E[X] lig summen af x_i gange p_i. For en kontinuert variabel X med tætheden f_X er E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f_X(x) dx, forudsat at integralet konvergerer og dermed er endeligt.

Lineære egenskaber: For alle tal a og b gælder E[aX + b] = a E[X] + b, og E[X + Y] = E[X] + E[Y]. Hvis X og Y er uafhængige, gælder også E[XY] = E[X] E[Y]. Loven om total forventning siger E[X] = E[E[X|Y]] og giver sammenkædning af forventninger gennem betingede fordelinger.

Eksistens og konvergens: Forventningsværdien kan være endelig eller uendelig; den eksisterer, når summen eller integralet der definerer E[X] konverger. Den kan også være udefineret eller ubegrænset i visse tilfælde.

Eksempler og anvendelser: En fair terning har E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. En Bernoulli-random variabel X i {0,1} har E[X] = p, hvor p er sandsynligheden for 1. Forventningsværdien anvendes bredt i statistik, beslutningstagen, finans og risikovurdering som et mål for den gennemsnitlige langsigtede udfald.