Forgatások

Forgatások közös neve a sík vagy tér geometriájában végzett olyan elmozdításoknak, amelyek a test(ek) minden pontját ugyanabban az arányban, egy rögzített tengely vagy központ körül, egy meghatározott szögben elforgatják. A forgatások megőrzik a távolságokat és a szögek szerkezetét, így síkban és térben is isometrikus transzformációk.

Két- és háromdimenziós megjelenítésük alapvetően különbözik. Síkmenetben egy forgatás a sík egy adott pontja körül történik, gyakran az origó körüli elforgatást értjük alatta. A síkbeli forgatást általában egy rotációmátrix adja meg: R(θ) = [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]], amelynek hatására a pontok új koordinátákat vesznek fel. Tágabb értelemben a középpont eltolásával és visszatükrözésének kizárásával bármely megadott pont körül végezhető forgatás.

Térben a forgatás tengely körüli elforgatást jelent. Ilyenkor az orientáció megőrzése miatt az összetett forgatások csoportot alkotnak, a -1 determinánsú tükrözésektől eltérően. A tengely n és a szög θ meghatározza a forgatást; jellemző ábrázolások a tengely-„axis-angle” reprezentáció, a Rodrigues-képlet és a kvaternionos leírás. A Rodrigues-képlet segítségével egy vektort v a vektor n és a szög alapján forgatott eredeti helyzetbe visz: R(v) = v cosθ + (n × v) sinθ + n(n · v)(1−cosθ). A for­gatásokat gyakran Euler-szögek vagy egység kvaterniók formájában is megadják.

Érdekeltségi területek közé tartozik a számítógépes grafika, robotika, űrkutatás, geodézia és számítási geometria, ahol a forgatások az orientációk és pozíciók pontos kezelését teszik lehetővé.