Filterteori

Filterteori er feltet som studerer hvordan signaler kan ændres ved at tilføje eller dæmpe bestemte frekvenskomponenter gennem filtre. Filtre beskrives ofte som lineære tidsinvariante LTI-systemer, hvor udgangssignalet y(t) eller y[n] er givet ved konvolution af inputsignalet x(t) eller x[n] med impulssvaret h(t) eller h[n]. Målet er at forstærke eller dæmpe frekvenser og dermed formgive signalet i områder som kommunikation, måleteknik og lydbehandling.

Den matematiske beskrivelse bruger overføringsfunktioner: i kontinuerteid anvendes Laplace-transformen med H(s), og i diskret tid anvendes z-transformen med H(z). Frekvensresponsen fås ved at evaluere s = jω eller z = e^{jω}, hvilket beskriver hvor meget hver frekvenskomponent ændres. Tidsdomænet konvolution svarer til multiplikation i frekvensdomænet.

Filtre kan inddeles efter deres effekt: lavpas, højpas, båndpas, båndstop og alle-pass. De mest udbredte typer er FIR-filtre (finite impulse response) og IIR-filtre (infinite impulse response). FIR-filtre har endelig impulsrespons og er ofte nemmere at gøre lineært faset; IIR-filtre kan være mere effektive men kræver omhyggelig polplacering for stabilitet.

Design og egenskaber: stabilitet (BIBO-stabilitet), kausalitet og realiserbarhed er centrale. FIR-filtre er som regel stabile og kausale hvis de konstrueres som endelig længde. IIR-filtre kan være mere effektive men kræver kontrol af polernes placering for at opnå stabilitet. Praktiske designværktøjer inkluderer vinduesmetoden og Parks–McClellan-algoritmen samt teknikker til anti-aliasing og korrekt prøvesampling i digitale systemer.

Anvendelser spænder fra lyd- og videobehandling til telekommunikation, måleteknik, navigationssystemer og kontrolteknik, hvor spektrumformgivning og signalforbedring er centrale.

---