Fibonaccirekken

Fibonaccirekken, ofte omtalt som Fibonacci-tallene, er en tallrekke som begynner med to startverdier og der hvert etterfølgende tall er lik summen av de to foregående. Den vanlige oppføringen bruker F_0 = 0 og F_1 = 1, og for n ≥ 2 har man F_n = F_{n-1} + F_{n-2}. Noen ganger benyttes startverdiene F_1 = 1, F_2 = 1; i så fall er rekken 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

F_n kan tilnærmes av Binet-formelen: F_n = (φ^n - ψ^n)/√5, der φ = (1+√5)/2 og ψ = (1-√5)/2. For store n blir ψ^n liten og rekken følger omtrent φ^n/√5. Grensen for forholdet F_{n+1}/F_n er φ ≈ 1.618..., noe som reflekterer rekken vekst.

Tallene forekommer i natur og kunst, blant annet i mønstre av blomsterfrø og blader, i spiraler og i visuelle komposisjoner som følger gyldne snitt. Rekken har også kulturelle og estetiske assosiasjoner og dukker opp i ulike modeller og undersøkelser av vekst og strukturer.

Historisk ble rekken popularisert i Europa av den italienske matematikeren Fibonacci i Liber Abaci (1202), selv om lignende mønstre og tall er dokumentert i tidligere indisk og arabisk matematikk. I moderne tid brukes Fibonaccital i datavitenskap og matematikkundervisning, blant annet i dynamisk programmering, Zeckendorfs teorem, fibonaccikoding og studier av rekursjon.