FermiDiracstatistik

Die Fermi-Dirac-Statistik beschreibt die statistische Verteilung von indistinguishable Fermionen, die dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen. Sie wurde von Enrico Fermi und Paul Dirac entwickelt, um das Verhalten von Elektronen und anderen Fermionen in quantenmechanischen Systemen zu erklären. Im Gleichgewicht ist die mittlere Besetzung eines Einteilungzustands mit Energie ε gegeben durch f(ε) = 1 / [exp((ε − μ)/(k_B T)) + 1], wobei μ das chemische Potential, k_B die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur ist.

Bei T = 0 entspricht f(ε) einer Stufenfunktion: f(ε) = 1 für ε < μ und f(ε) = 0 für ε > μ; μ entspricht damit der Fermi-Energie. Bei endlicher Temperatur geht die Stufe über eine Energiereichweite von ungefähr k_B T hinweg. Die Verteilung bestimmt die Anzahl der Elektronen in Zuständen unterschiedlicher Energie und damit wichtige Eigenschaften wie die elektrische Leitfähigkeit und die Wärmekapazität von Metallen.

In Many-Body-Systemen beschreibt die Fermi-Dirac-Statistik die Belegung von Zuständen bei Fermionen wie Elektronen, Neutronen oder Protonen, insbesondere dort, wo Quantendegeneration eine Rolle spielt. Sie unterscheidet sich von der Maxwell-Boltzmann-Verteilung und von der Bose-Einstein-Verteilung, da Fermionen dem Pauli-Ausschlussprinzip unterliegen und nicht denselben Zustand beliebig oft belegen können.

Die Theorie wird oft im Großkanonischen Ensemble formuliert, wobei das chemische Potential eingeführt wird, um die Teilchenzahl zu fixieren. Anwendungen finden sich in der Festkörperphysik (Elektronisches Verhalten in Metallen, Wärmekapazität der Elektronen, Transportphänomene), Plasmaphysik und der Astrophysik.