Faseportretten

Faseportrettet er en grafisk repræsentation af et dynamisk systems adfærd i faserummet. For et to-dimensionelt, autonomt system beskrives tilstandsudviklingen ofte med differentialligninger dx/dt = f(x, y) og dy/dt = g(x, y). Hver løsning udgør en kurve i faserummet, og hvert punkt står for en bestemt tilstand på et bestemt tidspunkt. Faseportrettet viser, hvordan tilstanden ændrer sig over tid, og hvilke langsigtede mønstre systemet kan udvise, såsom stabile ligevægtspunkter, periodiske kredse eller mere komplekse tilstande.

Opbygning og analyse går typisk ud på at finde ligevægte hvor f(x, y) = 0 og g(x, y) = 0, og at tegne vektorfeltet (f(x, y), g(x, y)). Ingeni birke integral kurver gennem forskellige startpunkter giver de typiske baner i portrættet. Nullklines hjælper med at afgøre, hvor hastigheden ændrer retning. Ofte suppleres med numerisk integration for at tegne konkrete baner. For hvert ligevægtspunkt beregnes Jacobian-matrixen J og dens eigenværdier bruges til at vurdere stabilitet: negative realdele giver tiltrækning (stabile noder eller fokale former), positive realdele giver frastødning (saddles). Komplekse egenværdier giver spiralformede baner omkring ligevægtet; afvejede forhold kan føre til center-lignende mønstre. Begrænsede cyklusser, kendt som limit cycles, kan forekomme og indikere vedvarende periodisk adfærd.

Faseportrettet anvendes bredt i biologi, fysik og teknik for at forstå qualitative egenskaber ved systemet uden at løse ligningerne eksplícit. Eksempler inkluderer Lotka–Volterra-modeller i økologi og oscillatoriske systemer som Van der Pol. I højere dimensioner forenkles ofte visualiseringen til faseplane eller anvendes Poincaré-kort og andre metoder til at få overblik over dynamikken.