Faktoriál

Faktoriál je matematická operace, která se aplikuje na nezáporné celé číslo. Obvykle se označuje vykřičníkem (!). Faktoriál čísla n, zapsaný jako n!, je součin všech kladných celých čísel menších nebo rovných n.

Například, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

Pro výpočet faktoriálu se používá rekurzivní definice:

n! = n * (n-1)! pro n > 0

Speciální případ je faktoriál nuly, který je definován jako 0! = 1.

Faktoriál se často objevuje v kombinatorice, zejména při počítání permutací a kombinací. Permutace n prvků je počet způsobů, jak lze tyto prvky uspořádat, což je právě n!. Kombinace n prvků po k je počet způsobů, jak vybrat k prvků z n bez ohledu na pořadí, a je dána vzorcem n! / (k! * (n-k)!).

Hodnoty faktoriálu rostou velmi rychle. Například 10! = 3,628,800 a 20! je již mnohem větší číslo. Faktoriály se používají také v jiných oblastech matematiky, jako je analýza (například v Taylorových řadách) a teorie čísel.