Faktoriseringsformene

Faktoriseringsformene refererer til ulike måter å uttrykke et objekt som et produkt av faktorer, ofte med utgangspunkt i heltall eller polynomer. Formene avhenger av hvilken algebraisk struktur man arbeider i, for eksempel heltallene Z eller polynomringen over et felt. Hensikten med faktorisering er ofte å forenkle uttrykk, løse likninger eller få innsikt i egenskaper som delbarhet og irreducibilitet.

For heltallene er primtallsfaktorisering en av de viktigste formene. Hvert heltall større enn 1 kan skrivest som et produkt av primtall, og dette produktet er unikt opp til rekkefølgen. Eksempelvis kan tallet 360 skrives som 2^3 · 3^2 · 5. Primfaktorisering brukes til å forenkle brøker, finne største felles divisor og minste felles multiplum, samt i talleteoriens grunnleggende resultater.

For polynomer gjelder faktoriseringsformer i ulike ringer eller felt. Over reelle tall kan et polynom faktorisere seg i lineære faktorer og irreducible kvadratiske faktorer. Over komplekse tall er hvert ikke-konstant polynom faktorisert i lineære faktorer (fundamental theorem of algebra). Over heltall eller rasjonale brukes ofte faktorisering i Z[x] eller Q[x], der irreduci-bilt er polynomer som ikke kan deles videre i disse ringene. Gauss’ lemma knytter faktorisering i Z[x] til faktorisering i Q[x], opp til konstantfaktorer.

Eksempler på faktorisering: 84 = 2^2 · 3 · 7 og x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Faktoriseringsformen er et grunnleggende verktøy i algebra og tallteori, brukt i løsning av likninger, forenkling av uttrykk og analyse av strukturer.